sexta-feira, 10 de fevereiro de 2012

Derivada ( Prof. Torres)

No Cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.
Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por
 ou por  .
 
 Em cada ponto, a derivada de  é o ângulo de uma reta que é tangente a curva. A reta é sempre tangente à curva azul; seu ângulo é a derivada. Note-se que a derivada é positiva quando a cima do eixo dos x , negativa quando se apresenta a baixo do eixo x , e zero quando o ponto está em cima do eixo.
Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferençável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De fato, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.
 

Gráfico de uma função derivável.
Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.


Gráfico da função módulo, que não é derivável em 0.

As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente). Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma idéia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme exceto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.